数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 実数の全体のたかだか可算な部分集合全体の集合、連続の濃度

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題16の解答を求めてみる。

16. 
    

    正の整数全体の集合から実数全体への 集合への写像 f に f の像を対応させる写像 g を考える。

    $g\left(f\right)=f\left({\text{ℤ}}^{+}\right)$

    また、

    $f\left({\text{ℤ}}^{+}\right)\subset \text{ℝ}$

    の濃度はたかだか可算である。

    よって、 g は全射である。

    これと 問15から

    $\mathrm{card}\Omega \le \mathrm{card}\text{ℝ}$

    また、

    $\left\{\left\{x\right\}|x\in \text{ℝ}\right\}\subset \Omega$

    なので、

    $\mathrm{card}\text{ℝ}\le \mathrm{card}\Omega$

    ゆえに

    $\mathrm{card}\Omega =\mathrm{card}\text{ℝ}$

    である。

    （証明終）