数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 正の整数全体の集合から実数全体への写像全体の集合、連続の濃度、対等

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題15の解答を求めてみる。

15. 
    

    問14 より 正の整数 全体の集合から正の整数全体の集合のべき集合への写像全体の集合と、 正の整数全体の集合 の直積のべき集合は対等である。

    また、

    $\begin{array}{l}\mathrm{card}P\left({\text{ℤ}}^{+}\right)=\mathrm{card}\text{ℝ}\\ \mathrm{card}P\left({\text{ℤ}}^{+}\times {\text{ℤ}}^{+}\right)\\ =\mathrm{card}P\left({\text{ℤ}}^{+}\right)\\ =\mathrm{card}\text{ℝ}\end{array}$

    よって、正の整数全体の集合から実数全体の集合への写像全体の集合は連続の濃度をもつ。

    （証明終）