数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - べき集合、写像全体の集合、直積、射影、対等、全単射

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    G を X × Y のべき集合の任意の元とする。

    X から Y のべき集合への写像を

    $\begin{array}{l}{\phi }_G:X\to P\left(Y\right)\\ {\phi }_G\left(x\right)\to \left\{y\in Y|\left(x,y\right)\in G\right\}\end{array}$

    とする。

    これは F の元である。

    X × Y のべき集合から Fへの写像 f を

    $\begin{array}{l}f:P\left(X\times Y\right)\to F\\ f\left(G\right)\to {\phi }_G\end{array}$

    とする。

    G、 H と X × Y のべき集合の徳の元とする。

    $f\left(G\right)=f\left(H\right)$

    ならば、

    ${\phi }_G={\phi }_H$

    任意の X の元 x に対して、

    $\begin{array}{l}{\phi }_G\left(x\right)={\phi }_H\left(x\right)\\ \left\{y\in Y|\left(x,y\right)\in G\right\}=\left\{y\in Y|\left(x,y\right)\in H\right\}\\ G=H\end{array}$

    よって、 f は単射である。

    g を F の任意の元とする。

    $g:X\to P\left(Y\right)$

    このとき

    $\begin{array}{l}g\left(x\right)\\ =\left\{y\in Y|\left(x,y\right)\in X\times U_{x\in X}g\left(x\right)\right\}\\ U_{x\in X}g\left(x\right)\subset Y\\ X\times U_{x\in G}g\left(x\right)=G\in P\left(X\times Y\right)\\ g\left(x\right)=\left\{y\in Y|\left(x,y\right)\in G\right\}={\phi }_G\left(x\right)\\ g={\phi }_G\\ f\left(G\right)={\phi }_G=g\end{array}$

    となるので、 f は全射である。

    よって、 f は全単射である。

    ゆえに、 F は X × Y のべき集合と対等である。

    （証明終）