数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 連続実関数のなすベクトル空間、積分によるスカラー積の定義、可換律、分配律、スカラー倍

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   可換律について。

   $⟨f,g⟩$

   $={\int }_0^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}$

   $={\int }_0^{1}g\left(t\right)f\left(t\right)\mathrm{dt}$

   $=⟨g,f⟩$

   分配律について。

   $⟨f,g+h⟩$

   $={\int }_0^{1}f\left(t\right)(g\left(t\right)+h\left(t\right))\mathrm{dt}$

   $={\int }_0^1(f\left(t\right)g\left(t\right)+f\left(t\right)h\left(t\right))\mathrm{dt}$

   $={\int }_0^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}+{\int }_0^{1}f\left(t\right)h\left(t\right)\mathrm{dt}$

   $=⟨f,g⟩+⟨f,h⟩$

   スカラー倍について。

   $⟨xf,g⟩={\int }_0^{1}xf\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}=x{\int }_0^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}=x⟨f,g⟩$

   $⟨f,xg⟩={\int }_0^{1}f\left(t\right)xg\left(t\right)\mathrm{dt}=x{\int }_0^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\mathrm{dt}=x⟨f,g⟩$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import exp, sin, Integral
from sympy.abc import t, x

print('3.')

f = t
g = exp(t)
h = sin(t)


class Test(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertEqual(
            *[Integral(o, (t, 0, 1)).doit() for o in [f * g, g * f]]
        )

    def test2(self):
        self.assertEqual(
            Integral(f * (g + h), (t, 0, 1)).doit(),
            Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit() +
            Integral(f * h, (t, 0, 1)).doit(),
        )

    def test3(self):
        self.assertEqual(
            Integral((x * f) * g, (t, 0, 1)).doit(),
            x * Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit(),
        )
        self.assertEqual(
            Integral(f * (x * g), (t, 0, 1)).doit(),
            x * Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit(),
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test1 (__main__.Test) ... ok
test2 (__main__.Test) ... ok
test3 (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.797s

OK
%