数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 累乗、正規直交基底、射影、連続実関数のなすベクトル空間、積分によるスカラー積の定義

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   直交基底。

   $f\left(t\right)=t$

   $g\left(t\right)-\frac{⟨g,f⟩}{⟨f,f⟩}f\left(t\right)$

   $=t^2-\frac{{\int }_0^1{t}^2·t\mathrm{dt}}{{\int }_0^1{t}^2\mathrm{dt}}t$

   $=t^2-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}t$

   $=t^2-\frac{3}{4}t$

   正規直交基底。

   $\frac{t}{\sqrt{⟨t,t⟩}}=\frac{t}{\sqrt{{\int }_0^1{t}^2\mathrm{dt}}}=\sqrt{3}t$

   $\frac{t^2-\frac{3}{4}t}{\sqrt{⟨t^2-\frac{3}{4}t,t^2-\frac{3}{4}t⟩}}$

   $=(t^2-\frac{3}{4}t)\frac{1}{\sqrt{{\int }_0^1(t^4-\frac{3}{2}{t}^3+\frac{9}{16}{t}^2)\mathrm{dt}}}$

   $=(t^2-\frac{3}{4}t)\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{5}-\frac{3}{8}+\frac{3}{16}}}$

   $=(t^2-\frac{3}{4}t)\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{16-30+15}}$

   $=(t^2-\frac{3}{4}t)4\sqrt{5}$

   $=4\sqrt{5}{t}^2-3\sqrt{5}t$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Integral, sqrt
from sympy.abc import t, x

print('4.')

f = t
g = t ** 2


def scalar_mul(f, g):
    return Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit()


class Test(TestCase):
    def test(self):
        u = sqrt(3) * t
        v = 4 * sqrt(5) * t ** 2 - 3 * sqrt(5) * t
        for o in [u, v]:
            self.assertEqual(sqrt(scalar_mul(o, o)), 1)
        self.assertEqual(scalar_mul(u, v), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v
4.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.087s

OK
%