数学 - 代数学 - 不等式 - 2次不等式 - 2次の絶対不等式 - 必要十分条件、係数、判別式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、2(2次不等式)、2次の絶対不等式の問17の解答を求めてみる。

17. 
    

    すべての実数 x に対して

    $a{x}^2+bx+c>0$

    が成り立つとき、

    $a>0$

    ならば、

    $b^2-4bc<0$

    $a=0$

    ならば、

    $bx+c>0$

    $b=0,c>0$

    よって、

    $(a>0\wedge b^2-4ac<0)\vee (a=b=0\wedge c>0)$

    逆について。

    $a>0\wedge b^2-4ac<0$

    ならば

    $a{x}^2+bx+c>0$

    $a=b=0\wedge c>0$

    ならば

    $a{x}^2+bx+c>0$

    よって、必要十分条件である。

    （証明終）