2020年7月26日日曜日

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題8の解答を求めてみる。



    1. z を B の任意の 元とすると、

      d ( x , B ) d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z )
      d ( x , B ) - d ( x , y ) d ( y , z )
      d ( x , B ) - d ( x , y ) d ( y , B )
      d ( x , B ) - d ( y , B ) d ( x , y )

      同様にして、

      d ( y , B ) - d ( x , B ) d ( y , x ) = d ( x , y )

      よって、

      - d ( x , y ) d ( x , B ) - d ( y , B )

      ゆえに、

      | d ( x , B ) - d ( y , B ) | d ( x , y )

      (証明終)


    2. f : A f ( x ) = d ( x , B )

      とすれは、 f は連続で、 A はコンパクトなので最小点をもち、その点を

      x 0

      とすれば

      d ( x 0 , B ) = d ( A , B )

      (証明終)


    3. d ( x 0 , B ) = d ( A , B ) x 0 A

      で、 問題の仮定より

      A B ϕ

      なので、

      x 0 B

      また、 B は閉集合なので、

      d ( A , B ) > 0

      である。

      (証明終)


    4. A = { ( x , 0 ) 2 | x }
      B = { ( x , 1 x ) 2 | x }

      とおけば、 A と B は閉集合で、

      A B = ϕ

      かつ

      d ( A , B ) = 0

      である。

      なのでいえない。

      (証明例

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