数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 外部の点、2本の接線の傾き、2次方程式の解、解と係数の関係、円、直交

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問22の解答を求めてみる。

1. 点 P を通り傾き m の直線の方程式は
  
  $y = m (x - x_{0}) + y_{0}$
  
  この直線 c が問題のだ円と接する場合を考える。
  
  $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{{(m (x - x_{0}) + y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1$
  
  $b^{2} x^{2} + a^{2} {(m (x - x_{0}) + y_{0})}^{2} - a^{2} b^{2} = 0$
  
  $(a^{2} m^{2} + b^{2}) x^{2} + a^{2} (- 2 x_{0} m^{2} + 2 y_{0} m) x + a^{2} (m x_{0}^{2} - 2 m x_{0} y_{0} + y_{0}^{2} - b^{2}) = 0$
  
  $(a^{2} m^{2} + b^{2}) x^{2} - 2 a^{2} m (m x_{0} - y_{0}) x + a^{2} ({(m x_{0} - y_{0})}^{2} - b^{2}) = 0$
  
  $\frac{D}{4} = {(a^{2} m (m x_{0} - y_{0}))}^{2} - (a^{2} m^{2} + b^{2}) a^{2} ({(m x_{0} - y_{0})}^{2} - b^{2}) = 0$
  
  $(a^{4} m^{2} - a^{4} m^{2} - a^{2} b^{2}) {(m x_{0} - y_{0})}^{2} + a^{2} b^{2} (a^{2} m^{2} + b^{2}) = 0$
  
  $a^{2} b^{2} ((a^{2} m^{2} + b^{2}) - {(m x_{0} - y_{0})}^{2}) = 0$
  
  $(a^{2} - x_{0}^{2}) m^{2} + 2 x_{0} y_{0} m + (b^{2} - y_{6}^{2}) = 0$
  
  よって、
  
  $x_{0} = \pm a$
  
  のとき、点 P からだ円にひいた2本の線線の傾きは、 m についての2次方程式
  
  $(a^{2} - x_{0}^{2}) m^{2} + 2 x_{0} y_{0} m + (b^{2} - y_{6}^{2}) = 0$
  
  の2つの解である。
  
  （証明終）
2. 問題の仮定より、
  
  $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} + b^{2}$
  
  2本の接線の傾きの積は、2次方程式の解と係数の関係により、
  
  $\frac{b^{2} - y_{0}^{2}}{a^{2} - x_{0}^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - a^{2} - y_{0}^{2}}{a^{2} - x_{0}^{2}} = - 1$
  
  よって、 2本の接線は直交する。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 import math import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import animation from sympy import pi, sin, cos, solve, symbols import numpy as np print('22.') a: float = 2 b: float = 1 r = float(math.sqrt(a ** 2 + b ** 2)) def ellipse1(x: float) -> float: return float(math.sqrt((1 - x ** 2 / a ** 2) * b ** 2)) def ellipse2(x: float) -> float: return -ellipse1(x) def circle1(x: float) -> float: return float(math.sqrt(r ** 2 - x ** 2)) def circle2(x: float) -> float: return -1 * circle1(x) frames = 50 m = symbols('m', real=True) thetas = [2 * pi / frames * i for i in range(frames)] x0s = [r * cos(theta) for theta in thetas] y0s = [r * sin(theta) for theta in thetas] ms = [solve((a ** 2 - x0 ** 2) * m ** 2 + 2 * x0 * y0 * m + (b ** 2 - y0 ** 2), m) for x0, y0 in zip(x0s, y0s)] def update(i: int, c): x0 = x0s[i] y0 = y0s[i] xs = [-r - 1, r + 1] m1, m2 = ms[i] plt.plot(xs, [m1 * (x - x0) + y0 for x in xs], xs, [m2 * (x - x0) + y0 for x in xs]) c.center = x0, y0 fig = plt.gcf() ax = plt.axes(xlim=(-r - 1, r + 1), ylim=(-r - 1, r + 1), aspect='equal') xs = np.arange(-a, a, 0.1) plt.plot(xs, [ellipse1(x) for x in xs], xs, [ellipse2(x) for x in xs]) xs = np.arange(-r, r, 0.1) plt.plot(xs, [circle1(x) for x in xs], xs, [circle2(x) for x in xs]) c = plt.Circle((r, 0), 0.1) ax.add_patch(c) anim = animation.FuncAnimation(fig, update, fargs=(c,), frames=frames, interval=100, repeat=True) plt.show() anim.save('sample22.gif', writer='imagemagick')

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2020年7月26日日曜日

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