## 2020年6月22日月曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 内部の境界、閉包の境界、境界、包含関係、実数空間の部分集合、等号が成り立たない場合

1. ${A}^{if}={A}^{ia}-{A}^{i}$
${A}^{f}={A}^{a}-{A}^{i}$
${A}^{ia}\subset {A}^{a}$

よって、

${A}^{if}\subset {A}^{f}$

が成り立つ。

${A}^{af}={A}^{aa}-{A}^{ai}={A}^{a}-{A}^{ai}$
${A}^{f}={A}^{a}-{A}^{i}$
${A}^{ai}\supset {A}^{i}$

よって、

${A}^{af}\subset {A}^{f}$

（証明終）

実数全体集合の場合で等号が成り立たない部分集合の例。

$A=\left\{0\right\}\cup \left(1,2\right)\cup \left(2,3\right)$

のとき、

$\begin{array}{l}{A}^{if}={\left(\left(1,2\right)\cup \left(2,3\right)\right)}^{f}=\left\{1,2,3\right\}\\ {A}^{f}=\left\{0,1,2,3\right\}\\ {A}^{if}\subset {A}^{f}\wedge {A}^{if}\ne {A}^{f}\end{array}$
$\begin{array}{l}{A}^{af}={\left(\left\{0\right\}\cup \left[1,3\right]\right)}^{f}=\left\{0,1,3\right\}\\ {A}^{f}=\left\{0,1,2,3\right\}\\ {A}^{af}\subset {A}^{f}\wedge {A}^{af}\ne {A}^{f}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Interval

print('7.')

a = Interval(0, 0) | Interval.open(1, 2) | Interval.open(2, 3)

class Test(TestCase):
def test1(self):
b = a.interior.boundary
c = a.boundary
self.assertTrue(b.is_subset(c) and b != c)

def test2(self):
b = a.closure.boundary
c = a.boundary
self.assertTrue(b.is_subset(c) and b != c)

if __name__ == "__main__":
main()


% ./sample7.py -v
7.
test1 (__main__.Test) ... ok
test2 (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.115s

OK
%