数学 - Python - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 内部の境界、閉包の境界、境界、包含関係、実数空間の部分集合、等号が成り立たない場合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $A^{if}=A^{ia}-A^i$

   $A^f=A^a-A^i$

   $A^{ia}\subset A^a$

   よって、

   $A^{if}\subset A^f$

   が成り立つ。

   $A^{af}=A^{aa}-A^{ai}=A^a-A^{ai}$

   $A^f=A^a-A^i$

   $A^{ai}\supset A^i$

   よって、

   $A^{af}\subset A^f$

   （証明終）

   実数全体集合の場合で等号が成り立たない部分集合の例。

   $A=\left\{0\right\}\cup (1,2)\cup (2,3)$

   のとき、

   $\begin{array}{l}{A}^{if}={((1,2)\cup (2,3))}^f=\{1,2,3\}\\ A^f=\{0,1,2,3\}\\ A^{if}\subset A^f\wedge A^{if}\ne A^f\end{array}$

   $\begin{array}{l}{A}^{af}={(\left\{0\right\}\cup [1,3])}^f=\{0,1,3\}\\ A^f=\{0,1,2,3\}\\ A^{af}\subset A^f\wedge A^{af}\ne A^f\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Interval

print('7.')

a = Interval(0, 0) | Interval.open(1, 2) | Interval.open(2, 3)


class Test(TestCase):
    def test1(self):
        b = a.interior.boundary
        c = a.boundary
        self.assertTrue(b.is_subset(c) and b != c)

    def test2(self):
        b = a.closure.boundary
        c = a.boundary
        self.assertTrue(b.is_subset(c) and b != c)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test1 (__main__.Test) ... ok
test2 (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.115s

OK
%