数学 - 解析学 - 集合論初歩 - ツォルンの補題 - 空でない有限集合、無限集合、直積、対等、帰納的順序集合、上界、極大元の存在、差集合、写像、定義域、拡大

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.3(ツォルンの補題)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      

      X は無限集合なので、 可算な部分集合が存在する。その1つを B とおくと、

      $\mathrm{card}I\times B=\mathrm{card}\text{ℕ}=\mathrm{card}B$

      よって、 全単射

      $f:I\times B\to B$

      が存在する。

      ゆえに F は空ではない。

   2. 
      

      反射律が成り立つ。

      $\left(B,g\right)=\left(B,g\right)$
      $\left(B,g\right),\left(B\text{'},g\text{'}\right)$

      を F の任意の元とする。

      $\left(B,g\right)\le \left(B\text{'},g\text{'}\right)\wedge \left(B,g\right)\ge \left(B\text{'},g\text{'}\right)$

      ならば、

      $B\subset B\text{'}\wedge B\text{'}\subset B$

      なので、

      $B=B\text{'}$

      よって、

      $g=g\text{'}$

      ゆえに

      $\left(B,g\right)=\left(B\text{'},g\text{'}\right)$

      よって反対称律が成り立つ。

      $\left(B_1,g_1\right),\left(B_2,g_2\right),\left(B_3,g_3\right)$

      そ F の任意の元とする。

      $\left(B_1,g_1\right)\le \left(B_2,g_2\right)\wedge \left(B_2,g_2\right)\le \left(B_3,g_3\right)$

      ならば、

      $B_1\subset B_3$

      で

      $g_3$

      は

      $g_1$

      の拡大となっているので、

      $\left(B_1,g_1\right)\le \left(B_3,g_3\right)$

      よって推移律が 成り立つ。

      ゆえに、 この関係は F 上の順序である。

      G を F の 任意の全順序部分集合とする。

      G の 全ての組の 集合についての和集合を C とし、に定義域とする全ての組の写像の拡大を g とすれば

      $\left(C,g\right)$

      は F の元で、 G の上界である。

      よって、 F は帰納的順序集合である。

   3. 
      
      $X\backslash A$

      が無限集合と仮定する。

      このとき、 可算集合を含む。その1つを B とする。

      $\begin{array}{l}B\subset X\backslash A\\ \mathrm{card}B=\text{ℕ}\end{array}$

      このとき、 全単射

      $g:I\times B\to B$

      が存在する。

      写像 h を

      $\begin{array}{l}h:I\times \left(A\cup B\right)\to A\cup B\\ h\left(x\right)=\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\left(x\in I\times A\right)\\ g\left(x\right)\left(x\in I\times B\right)\end{array}\end{array}$

      と すると

      $A\cap B=\varphi$

      なので h は全単射である。

      よって h は F の元で

      $\left(A,f\right)\le \left(A\cup B,h\right)$

      となり、(A, f) が F の極大限であるということと矛盾。

      よって、

      $X\backslash A$

      は有限集合である。

   4. 
      

      X は無限集合で、

      $X\backslash A$

      が有限集合なので、

      $\mathrm{card}X=\mathrm{card}A$

      よって、 また、 (A, f) は F の 極大元、すなわちF の元なので、

      $I\times A\sim A$

      ゆえに

      $I\times X\sim X$

      である。

      （証明終）