数学 - 解析学 - 集合論初歩 - ツォルンの補題 - 有限的な性質、ツォルンの補題、極大元の存在

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.3(ツォルンの補題)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   有限的な性質 C をもつX の部分集合全ての集合をA とする。

   B を A の任意の空でない全順序部分集合とする。

   B の和集合を D とする。

   $\left\{b_1,\dots ,b_n\right\}$

   を D の任意の有限部分集合とする。

   すると、

   $\begin{array}{l}{b}_i\in B_i\in B\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   を満たす B の元が存在する。

   B は包含関係について全順序なので、 上記を満たすB の元で最大な集合が存在する。 それを

   $B_k$

   とおく。

   このとき、

   $\left\{b_1,\dots ,b_n\right\}\subset B_k$

   また、

   $B_k$

   は B の元なので、有限的な性質 C をもつX の部分集合である。 よって、 C を満たす。ゆえに、

   $\left\{b_1,\dots ,b_n\right\}$

   は C を満たす。

   よって、 D は C を満たす。

   したがって、 D は B の上界かつ A の元である。

   よって、 A は帰納的順序集合である。

   ゆえに、 ツォルンの補題により、 A、 すなわち C を満たす X の 部分集合のうちに包含順序の意味で極大なものが 存在する。

   （証明終）