数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 変数、記法、内積、等式

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}s=\frac{y}{x}\\ t=\frac{z}{x}\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}\\ =\frac{\partial u}{\partial x}{x}^{3}f\left(s,t\right)\\ =3x^{2}f\left(s,t\right)+x^3\frac{\partial }{\partial x}f\left(s,t\right)\\ =3x^{2}f\left(s,t\right)+x^3\left(\frac{df}{ds},\frac{df}{\mathrm{dt}}\right)·\left(-\frac{y}{x^2},-\frac{z}{x^2}\right)\\ =3x^{2}f\left(s,t\right)-x\left(y\frac{df}{ds}+z\frac{df}{\mathrm{dt}}\right)\\ \frac{\partial u}{\partial y}\\ =x^3\left(\frac{df}{ds},\frac{df}{\mathrm{dt}}\right)·\left(\frac{1}{x},0\right)\\ =x^2\frac{df}{ds}\\ \frac{\partial u}{\partial z}\\ =x^3\left(\frac{df}{ds},\frac{df}{\mathrm{dt}}\right)·\left(0,\frac{1}{x}\right)\\ =x^2\frac{df}{\mathrm{dt}}\\ x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}\\ =3x^{3}f\left(s,t\right)-x^{2}y\frac{df}{ds}-x^{2}z\frac{df}{\mathrm{dt}}+x^{2}y\frac{df}{ds}+x^{2}z\frac{\mathrm{dt}}{ds}\\ =3u\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Function

print('6.')

x, y, z = symbols('x, y, z')


class TestDerivativeChainRule(TestCase):
    def test(self):
        f = Function('f')(y / x, z / x)
        u = x ** 3 * f
        self.assertEqual(
            (x * u.diff(x, 1) + y * u.diff(y, 1) + z * u.diff(z, 1)).simplify(),
            3 * u)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v 
6.
test (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.409s

OK
%