数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 単射ではありえないための十分条件

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   線形写像 G の核の元の1つを w とする。

   $\left\{w_1,\dots ,w_n\right\}$

   と W の基底とする。

   $w=\sum _{k=1}^n{c}_k{w}_k$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}G\left(w\right)=O\\ G\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{w}_k\right)=O\\ \sum _{k=1}^n{c}_{k}G\left(w_k\right)=O\end{array}$

   問題の仮定より

   $\dim W>\dim V$

   なので、

   $\left\{G_1\left(w_1\right),\dots ,G\left(w_n\right)\right\}$

   は1次従属である。

   よって、 ある

   $c_k\ne 0$

   が存在して、

   $\begin{array}{l}\sum _{k=1}^n{c}_{k}G\left(w_k\right)=O\\ G\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{w}_k\right)=O\end{array}$

   を満たす w が存在する。

   $\left\{w_1,\dots ,w_n\right\}$

   が W の基底という仮定より、

   $\sum _{k=1}^n{c}_k{w}_k\ne O$

   また、

   $G\left(O\right)=O$

   よって、 G の核の元の個数は2個以上である。

   ゆえに、 G は単射ではありえない。

   （証明終）