数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 写像と集合、部分集合族、話集合の像と像の話集合、包含関係、単射、等号

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   集合 Y の任意の元 y に対して、

   $\begin{array}{l}y\in f\left(\cap A_i\right)\\ \iff \exists x\in X\left[x\in \cap A_i\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists x\in X\forall i\in I\left[x\in A_i\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x\in X\forall i\in I\left[f\left(x\right)\in f\left(A_i\right)\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists x\in X\left[f\left(x\right)\in \cap f\left(A_i\right)\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff y\in \cap f\left(A_i\right)\end{array}$

   よって、 包含関係

   $f\left(\cap A_i\right)\subset \cap f\left(A_i\right)$

   が成り立つ。

   また、 f が単射の場合、

   $\begin{array}{l}\exists x\in X\forall i\in I\left[f\left(x\right)\in f\left(A_i\right)\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists x\in X\forall i\in I\left[x\in A_i\wedge f\left(x\right)=y\right]\end{array}$

   なので、 等号が成り立つ。

   （証明終）