数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 線分のベクトル方程式 - 三角形の内部および周の位置ベクトル

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、線分のベクトル方程式の問37の解答を求めてみる。

37. 
    

    Q を辺 AB 上の点とすれば、その位置ベクトルは

    $\begin{array}{l}r\text{'}\ge 0,s\text{'}\ge 0,r\text{'}+s\text{'}=1\\ \overrightarrow{q}\\ =\overrightarrow{c}+r\text{'}\overrightarrow{CA}+s\text{'}\overrightarrow{CB}\\ =\overrightarrow{c}+r\text{'}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right)+s\text{'}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\\ =\overrightarrow{c}+r\text{'}\overrightarrow{a}+s\text{'}\overrightarrow{b}-\left(r\text{'}+s\text{'}\right)\overrightarrow{c}\\ =\overrightarrow{c}+r\text{'}\overrightarrow{a}+s\text{'}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\\ =r\text{'}\overrightarrow{a}+s\text{'}\overrightarrow{b}\end{array}$

    また、線分 C Q 上の位置ベクトルは

    $0\le k\le 1$

    を満たす k によって、

    $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{c}+k\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{c}\right)$

    と表される。

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{p}\\ =\overrightarrow{c}+kr\text{'}\overrightarrow{a}+ks\text{'}\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{c}\\ =kr\text{'}\overrightarrow{a}+ks\text{'}\overrightarrow{b}+\left(1-k\right)\overrightarrow{c}\end{array}$

    ここで、

    $\begin{array}{l}kr\text{'}=r\\ ks\text{'}=s\\ 1-k=t\end{array}$

    とおくと

    $\begin{array}{l}r\ge 0\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ r+s+t\\ =kr\text{'}+ks\text{'}+1-k\\ =k\left(r\text{'}+s\text{'}\right)+1-k\\ =k+1-k\\ =1\end{array}$

    また、

    $r\text{'},s\text{'}$

    が条件を満たす範囲のすべての実数の組を動けば点 Q は線分 AB 上のすべての点を動く。

    また、 k が条件を満たす範囲を動けば、点 P は線分 A Q上のすべての点を動く。

    よって、 s、 t、 r が条件を満たすすべての実数の組を動けば、 点 P は三角形 ABC の内部および国の全体を動く。

    ゆえに、 三角形の内部および国の位置ベクトルは

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{p}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\\ r\ge 0\\ s\ge 0\\ t\ge 0\\ r+s+t=1\end{array}$

    で表される点 P'の全体からなる。

    （証明終）