数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 収束半径、上極限、逆数、収束円、絶対収束と条件収束

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題7の解答を求めてみる。

1. $\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{1} = 1$
  
  よって、収束半径は1である。
  
  部分和について、
  
  $\begin{array}{l} |z| \leq 1 \\ |A_{n}| \\ = |\sum_{k = 0}^{n} z^{k}| \\ = |\frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}| \\ = \frac{|1 - z^{n + 1}|}{1 - z} \\ \leq \frac{2}{|1 - z|} \end{array}$
  
  よって、収束円の周上
  
  $|z| = 1$
  
  において、どの点でも収束しない。
  
  （証明終）
2. $\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{\frac{1}{n + 1}} = 1$
  
  よって、収束半径は1である。
  
  また、
  
  $z = 1$
  
  の場合、
  
  $\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \end{array}$
  
  は発散する。
  
  $\begin{array}{l} |z| = 1 \\ z \neq 1 \end{array}$
  
  の場合。
  任意の非負整数に対して、
  
  $|\sum_{k = 0}^{n} z^{k}| \leq \frac{1}{|1 - z|}$
  
  で、
  
  $\begin{array}{l} \frac{1}{n + 1} \geq \frac{1}{n + 2} \geq 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0 \end{array}$
  
  なので、問6の結果より、
  
  $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} z^{n}$
  
  は収束する。
  
  （証明終）
3. $\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}} = 1$
  
  よって、収束半径は1である。
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} |\frac{z^{n}}{{(n + 1)}^{2}}| \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} {|z|}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \end{array}$
  
  は収束する。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, summation, oo, I, pprint, Limit, root print('7.') class MyTestCase(TestCase): def test_a(self): self.assertEqual(Limit(root(1, n), n, oo).doit(), 1) def test_b(self): self.assertEqual(Limit(root(1 / (n + 1), n), n, oo).doit(), 1) def test_c(self): self.assertEqual(Limit(root(1 / (n + 1) ** 2, n), n, oo).doit(), 1) n = symbols('n', integer=True) z = symbols('z', imag=True) s1 = summation(z ** n, (n, 0, oo)) s2 = summation(1 / (n + 1) * z ** n, (n, 0, oo)) s3 = summation(1 / (n + 1) ** 2 * z ** n, (n, 0, oo)) for o in [s1, s2, s3]: pprint(o) print() if __name__ == "__main__": main()

% ./sample7.py -v 7. ⎧ 1 ⎪ ───── for │z│ < 1 ⎪ 1 - z ⎪ ⎪ ∞ ⎪ ___ ⎨ ╲ ⎪ ╲ n ⎪ ╱ z otherwise ⎪ ╱ ⎪ ‾‾‾ ⎪n = 0 ⎩ ⎧-log(1 - z) ⎪──────────── for z ≥ -1 ∧ z < 1 ⎪ z ⎪ ⎪ ∞ ⎪ ____ ⎪ ╲ ⎨ ╲ n ⎪ ╲ z ⎪ ╱ ───── otherwise ⎪ ╱ n + 1 ⎪ ╱ ⎪ ‾‾‾‾ ⎪n = 0 ⎩ ⎧ polylog(2, z) ⎪ ───────────── for │z│ ≤ 1 ⎪ z ⎪ ⎪ ∞ ⎪_____ ⎪╲ ⎪ ╲ ⎨ ╲ n ⎪ ╲ z ⎪ ╱ ──────────── otherwise ⎪ ╱ 2 ⎪ ╱ n + 2⋅n + 1 ⎪╱ ⎪‾‾‾‾‾ ⎪n = 0 ⎩ test_a (__main__.MyTestCase) ... ok test_b (__main__.MyTestCase) ... ok test_c (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 3 tests in 0.347s OK %

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2020年3月10日火曜日

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