数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 凸包(ある集合を含む最小の凸集合)、有限個の点で張られた凸単体、線分、帰納法 | Kamimura's blog

2020年3月27日金曜日

数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 凸包(ある集合を含む最小の凸集合)、有限個の点で張られた凸単体、線分、帰納法

解析入門(上)
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学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題9の解答を求めてみる。

M を

$ℝ^{n}$

の任意の凸集合とし、

$a_{1}, \dots, a_{m} \in M$

とする。

$S (a_{1}, \dots, a_{m - 1})$

が

$\{a_{1}, \dots, a_{m - 1}\}$

の凸包と仮定する。

$\begin{array}{l} a = \sum_{k = 1}^{m} t_{k} a_{k} \\ \sum_{k = 1}^{m} t_{k} = 1 \\ t_{k} \geq 0 (k = 1, \dots, m) \end{array}$

とおく。

$t_{m} = 1$

の場合、

$a = a_{m} \in M$

である。

$t_{m} < 1$

の場合、

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{m - 1} \frac{t_{k}}{1 - t_{m}} \\ = \frac{1}{1 - t_{n}} \sum_{k = 1}^{m - 1} t_{k} \\ = \frac{1 - t_{m}}{1 - t_{m}} \\ = 1 \\ \frac{t_{k}}{1 - t_{m}} \geq 0 \end{array}$

なので、

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{t_{k}}{1 - t_{n}} a_{k} \in S (a_{m}, \dots, a_{m - 1}) \subset M$

であり、

$a = (1 - t_{m}) \sum_{k = 1}^{m - 1} a_{k} + t_{m} a_{m} \in [\sum_{k = 1}^{m - 1} a_{k}, a_{m}] \subset M$

よって帰納法により、問8の単体

$S (a_{1}, \dots, a_{m})$

は集合

$\{a_{n}, \dots, a_{m}\}$

の凸包である。

（証明終）

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