数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 有限個の点で張られた凸単体、凸集合、線分 | Kamimura's blog

2020年3月26日木曜日

数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 有限個の点で張られた凸単体、凸集合、線分

解析入門(上)
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学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題8の解答を求めてみる。

u、 v を

$S (a_{1}, \dots, a_{m})$

の任意の元とし、

$\begin{array}{l} u = \sum_{k = 1}^{m} t_{k} a_{k} \\ \sum_{k = 1}^{m} t_{k} = 1 \\ t_{i} \geq 0 (i = 1, \dots, m) \\ v = \sum_{k = 1}^{m} s_{k} a_{k} \\ \sum_{k = 1}^{m} s_{k} = 1 \\ s_{i} \geq 0 (i = 1, \dots, m) \end{array}$

とおく。

このとき、 u と v を結ぶ線分上の点は

$\begin{array}{l} 0 \leq l \leq 1 \\ (1 - l) u + l v \\ = (1 - l) \sum_{k = 1}^{m} t_{k} a_{i} + l \sum_{k = 1}^{m} s_{k} a_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{m} ((1 - l) t_{k} + l s_{k}) a_{k} \end{array}$

である。

また、

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} ((1 - l) t_{k} + l s_{k}) \\ = (1 - l) \sum_{k = 1}^{m} t_{k} + l \sum_{k = 1}^{m} s_{k} \\ = (1 - l) + l \\ = 1 \\ (1 - l) t_{k} + l s_{k} \geq 0 \end{array}$

よって、線分は集合

$S (a_{1}, \dots, a_{m})$

に含まれる。

ゆえに、

$S (a_{1}, \dots, a_{n})$

は

$ℝ^{n}$
- 凸集合である。
（証明終）

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