数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 基本的な整級数展開、二項定理

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題5の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} \\ = {(1 + x)}^{- 2} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - 2 \\ n \end{matrix}) x^{n} \\ = 1 - 2 x + \frac{(- 2) (- 3)}{2!} x^{2} + \frac{(- 2) (- 3) (- 4)}{3!} x^{3} + \dots \\ = 1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \sqrt{1 + x} \\ = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{n^{2}}) x^{n} \\ = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2})}{2!} x^{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2})}{3!} x^{3} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2})}{4!} x^{4} + \dots \\ = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{8} x^{4} + \dots \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(- x^{2})}^{n} \\ = 1 + (- \frac{1}{2}) (- x^{2}) + \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2})}{2!} {(- x^{2})}^{2} + \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2})}{3!} {(- x^{2})}^{3} \\ + \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2}) (- \frac{7}{2})}{4!} {(- x^{2})}^{4} + \dots \\ = 1 + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^{4} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^{6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} x^{8} + \dots \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, sqrt, plot print('5.') x = symbols('x') fs = [1 / (1 + x) ** 2, sqrt(1 + x), 1 / sqrt(1 - x ** 2)] p = plot(*fs, ylim=(0, 20), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample5.png')

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2020年2月19日水曜日

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