数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 分点の位置ベクトル - ある点が三角形の重心であるための必要十分条件

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問24の解答を求めてみる。

24. 
    

    G が三角形 ABC の重心ならば、

    $\begin{array}{l}G=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\\ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\\ =\overrightarrow{a}-\frac{\stackrel{-}{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}+\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}}{3}+\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\\ =\overrightarrow{0}\end{array}$

    逆に、

    $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

    のとき、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\end{array}$

    となり、 G は三角形 ABC の重心である。

    （証明終）