数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 - 基底 - 連続時関数のなすベクトル空間、積分によるスカラー積(内積)の定義、三角関数(正弦)、倍角、垂直、零

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}n,m\in \text{ℕ}-\left\{0\right\}\\ n\ne m\\ ⟨\sin nt,\sin mt⟩\\ ={\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nt\sin mt\mathrm{dt}\\ ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\cos \left(n-m\right)t-\cos \left(n+m\right)t}{2}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin \left(n-m\right)t}{n-m}-\frac{\sin \left(n+m\right)t}{n+m}\right]}_{-\pi }^{\pi }\\ =0\end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, solve, sin, pi, pi, Integral, plot, pprint

print('10.')

x = symbols('x', real=True)
n, m = symbols('n, m', integer=True, positive=True)
f = sin(n * x)


def dot(f, g):
    return Integral(f * g, (x, -pi, pi))


g = f.subs({n: m})
for o in [dot(f, g), dot(f, g).doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(*[f.subs({n: k}) for k in range(1, 6)],
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py
10.
π                      
⌠                      
⎮  sin(m⋅x)⋅sin(n⋅x) dx
⌡                      
-π                     

⎧0  for m ≠ n
⎨            
⎩π  otherwise

%