数学 - 代数学 - 因数分解と分数式 - 比および比例式 - 性質、等式の証明

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、4(比および比例式)の問16の解答を求めてみる。

16. 
    
    1. 
       
       $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

       とおく。

       $\begin{array}{l}a=bk\\ c=dk\\ \frac{a+2b}{2a+b}\\ =\frac{bk+2b}{2bk+b}\\ =\frac{k+2}{2k+1}\\ \frac{c+2d}{2c+d}\\ =\frac{dk+2d}{2dk+d}\\ =\frac{k+2}{2k+1}\\ \frac{a+2b}{2a+b}=\frac{c+2d}{2c+d}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{pa+rb}{qa+sb}\\ =\frac{pbk+rb}{qbk+sb}\\ =\frac{pk+r}{qk+s}\\ \frac{pc+rd}{qc+sd}\\ =\frac{pdk+rd}{qdk+sd}\\ =\frac{pk+r}{qk+s}\\ \frac{pa+rb}{qa+sb}=\frac{pc+rd}{qc+sd}\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{a^2+c^2}{ab+cd}\\ =\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{bkb+dkd}\\ =k\\ \frac{ab+cd}{b^2+d^2}\\ =\frac{b^{2}k+d^{2}k}{b^2+d^2}\\ =k\\ \frac{a^2+c^2}{ab+cd}=\frac{ab+cd}{b^2+d^2}\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{{\left(a-c\right)}^2}{{\left(b-d\right)}^2}\\ =\frac{{\left(bk-dk\right)}^2}{{\left(b-d\right)}^2}\\ =k^2\\ \frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\\ =\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2+d^2}\\ =k^2\end{array}$