数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - ベクトルのノルム - 角、余弦、余弦定理、内積

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{A·B}{∥A∥∥B∥}\\ {∥A∥}^2+{∥B∥}^2-2∥A∥∥B∥\cos \theta \\ ={∥A∥}^2+{∥B∥}^2-2∥A∥∥B∥·\frac{A·B}{∥A∥∥B∥}\\ ={∥A∥}^2+{∥B∥}^2-2A·B\\ {∥A-B∥}^2\\ =\left(A-B\right)·\left(A-B\right)\\ ={∥A∥}^2+{∥B∥}^2-2A·B\end{array}$

   よって、

   ${∥A-B∥}^2={∥A∥}^2+{∥B∥}^2-2∥A∥∥B∥\cos \theta$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix

print('9.')

a = Matrix([1, 2, 3])
b = Matrix([-4, 5, -6])
cos_theta = a.dot(b) / (a.norm() * b.norm())


class DistanceTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual((a - b).norm() ** 2,
                         a.norm() ** 2 + b.norm() ** 2 - 2 * a.norm() * b.norm() * cos_theta)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample9.py -v
9.
test (__main__.DistanceTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.003s

OK
%