数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 和と直和 - 実数、2次元空間、基底、生成される部分空間、直和

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、5(和と直和)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}A\ne O\\ B\ne O\\ A=\left(x_1,y_1\right)\\ B=\left(x_2,y_2\right)\end{array}$

   とおく。

   $aA+bB=O$

   を満たす a、 b を考える。

   $b\ne 0$

   と仮定すると、

   $B=\frac{a}{b}A$

   となり、 問題の仮定に反する。

   よって、

   $b=0$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}aA=O\\ a=0\end{array}$

   であり、 A と B は1次独立である。

   また、

   $\dim {\text{ℝ}}^2=2$

   なので、

   $\left\{A,B\right\}$

   は

   ${\text{ℝ}}^2$

   の基底をなす。

   A、 B が基底であることから

   ${\text{ℝ}}^2$

   の任意の元は、

   $c_{1}A+c_{2}B$

   と一通りに表される。
   また、

   $\left\{cA|c\in \text{ℝ}\right\}\cap \left\{cB|c\in \text{ℝ}\right\}\ne \left\{O\right\}$

   と仮定すると、 零ではないある実数 a、 b が存在して、

   $\begin{array}{l}aA=bB\\ B=\frac{a}{b}A\end{array}$

   となり、 問題の仮定と矛盾するので、

   $\left\{cA|c\in \text{ℝ}\right\}\cap \left\{cB|c\in \text{ℝ}\right\}=\left\{O\right\}$

   である。

   よって、

   ${\text{ℝ}}^2$

   は A と B のそれぞれによって生成される部分空間の直和である。

   （証明終）