数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 置換積分法、平方根

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題3の解答を求めてみる。

1. 以下積分定数は省略。
  
  $\begin{array}{l} \int \sqrt{x^{2} + a} dx \\ = x \sqrt{x^{2} + a} - \int x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + a}} dx \\ = x \sqrt{x^{2} + a} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + a}} dx \\ = x \sqrt{x^{2} + a} - \int \frac{x^{2} + a - a}{\sqrt{x^{2} + a}} dx \\ = x \sqrt{x^{2} + a} - \int (\sqrt{x^{2} + a} - \frac{a}{\sqrt{x^{2} + a}}) dx \\ = x \sqrt{x^{2} + a} - \int \sqrt{x^{2} + a} dx + a \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a}} d x \\ \int \sqrt{x^{2} + a} dx \\ = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^{2} + a} - a \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a}} dx) \\ = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^{2} + a} - a \log |x + \sqrt{x^{2} + a}|) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} dx \\ = \int \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx \\ = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx \\ = \arcsin x - \log \sqrt{1 - x^{2}} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} x = \frac{1}{t} \\ t = \frac{1}{x} \end{array}$
  
  とおき、 x で微分すると、
  
  $\frac{dt}{dx} = - \frac{1}{x^{2}}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} dx \\ = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} (- x^{2}) dt \\ = \int \frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 1}} dt \\ = \int \frac{- \frac{1}{t}}{\sqrt{\frac{1}{t^{2}} + 1}} dt \\ = \int \frac{- 1}{\sqrt{1 + t^{2}}} dt \\ = \int \frac{t - \sqrt{1 + t^{2}}}{\sqrt{1 + t^{2}} (\sqrt{1 + t^{2}} - t)} dt \\ \int (\frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} - 1) \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}} - 1} dt \\ = \log (\sqrt{1 + t^{2}} - t) \\ = \log (\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{1}{x}) \\ = \log \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} \end{array}$
4. $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = t$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} \frac{dt}{dx} \\ = \frac{\frac{\sqrt{x - 1}}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x - 1}}}{x - 1} \\ = \frac{x - 1 - x - 1}{2 (x - 1) \sqrt{x^{2} - 1}} \\ = \frac{- 1}{(x - 1) \sqrt{x^{2} - 1}} \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} x > 1 \\ \int \frac{1}{(x - 1) \sqrt{x^{2} - 1}} dx \\ = - \int 1 dt \\ = - t \\ = - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Integral, sqrt, plot print('3.') x, a = symbols('x, a') fs = [sqrt(x ** 2 + a), sqrt((1 - x) / (1 + x)), 1 / (x * sqrt(x ** 2 + 1)), 1 / ((x - 1) * sqrt(x ** 2 - 1))] for i, f in enumerate(fs, 1): print(f'({i})') I = Integral(f, x) for o in [I, I.doit()]: pprint(o) print() p = plot(*[f.subs({a: 2}) for f in fs], ylim=(-10, 10), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample3.png')

% ./sample3.py 3. (1) ⌠ ⎮ ________ ⎮ ╱ 2 ⎮ ╲╱ a + x dx ⌡ ________ ╱ 2 ╱ x ⎛x ⎞ √a⋅x⋅ ╱ 1 + ── a⋅asinh⎜──⎟ ╲╱ a ⎝√a⎠ ────────────────── + ─────────── 2 2 (2) ⌠ ⎮ _______ ⎮ ╱ 1 - x ⎮ ╱ ───── dx ⎮ ╲╱ x + 1 ⌡ ⌠ ⎮ _______ ⎮ ╱ 1 - x ⎮ ╱ ───── dx ⎮ ╲╱ x + 1 ⌡ (3) ⌠ ⎮ 1 ⎮ ───────────── dx ⎮ ________ ⎮ ╱ 2 ⎮ x⋅╲╱ x + 1 ⌡ ⎛1⎞ -asinh⎜─⎟ ⎝x⎠ (4) ⌠ ⎮ 1 ⎮ ─────────────────── dx ⎮ ________ ⎮ ╱ 2 ⎮ (x - 1)⋅╲╱ x - 1 ⌡ ⌠ ⎮ 1 ⎮ ─────────────────────────── dx ⎮ _________________ ⎮ ╲╱ (x - 1)⋅(x + 1) ⋅(x - 1) ⌡ %

(4)の積分は求められてないし、SymPyには苦手な積分、不定積分があるみたい。

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2019年12月25日水曜日

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