数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 三角形の面積 - 角、二等分線、辺、比率 | Kamimura's blog

2019年12月25日水曜日

数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 三角形の面積 - 角、二等分線、辺、比率

新装版数学読本2
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、三角形の面積の問45の解答を求めてみる。

三角形 ABD の面積は、
$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{1}{2} |A D| |A B| \sin \frac{A}{2} \\ = \frac{1}{2} |B D ∥ A D| \sin ∠ A D B \\ = \frac{1}{2} |B D ∥ A D| \sin (π - \frac{A}{2} - B) \\ = \frac{1}{2} |B D| |A D| \sin (\frac{A}{2} + B) \end{array}$
三角形 ACD の面積は、
$\begin{array}{l} S_{2} = \frac{1}{2} |A D| |A C| \sin \frac{A}{2} \\ = \frac{1}{2} |D C| |A D| \sin ∠ A D C \\ = \frac{1}{2} |D C| |A D| (π - \frac{A}{2} - C) \\ = \frac{1}{2} |D C| |A D| (π - \frac{A}{2} - (π - A - B)) \\ = \frac{1}{2} |D C| |A D| (\frac{A}{2} + B) \end{array}$
よって、
$\begin{array}{l} S_{1} : S_{2} \\ = \frac{1}{2} |A D| |A B| \sin \frac{A}{2} : \frac{1}{2} |A D| |A C| \sin \frac{A}{2} \\ = |A B| : |A C| \\ = \frac{1}{2} |B D| |A D| \sin (\frac{A}{2} + B) : \frac{1}{2} |D C| |A D| \sin (\frac{A}{2} + B) \\ = B D : D C \end{array}$
ゆえに、
$|A B| : |A C| = |B D| : |D C|$
（証明終）

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)