2019年11月11日月曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、6.(関数値の変動と導関数)、問4、5.の解答を求めてみる。


  1. f、 g ともに増加関数なので、

    x 1 < x 2

    ならば、

    f x 1 f x 2 g x 1 g x 2

    よって、

    f x 1 + g x 2 f x 2 + g x 2

    が成り立つ。 ゆえに、

    f x + g x

    も増加関数である。

    (証明終)


  2. 問題の仮定より、

    f x 0 , g x 0

    なので、

    f x 1 · g x 1 f x 2 · g x 2

    よって、 関数

    f x · g x

    も増加関数である。

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('4.')

x, a, epsilon = symbols('x, a, ε', nonnegative=True)
f = x
g = x ** 2
h = f + g
l = f * g
fs = [f, g, h, l]
for o in [f, g, h, l]:
    pprint(o.subs({x: a}) <= o.subs({x: a + epsilon}))
    print(bool(o.subs({x: a + epsilon}).expand() >= o.subs({x: a})))
    print()

p = plot(*fs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(0, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py
4.
True
True

 2          2
a  ≤ (a + ε) 
True

 2                      2
a  + a ≤ a + ε + (a + ε) 
True

 3          3
a  ≤ (a + ε) 
True

%

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