数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - εとδ - 極限 - 場合分け、存在

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録1(εとδ)、2(極限)の練習問題5を求めてみる。

5. 
   
   1. 
      
      $x=0$

      の場合、

      $\begin{array}{l}f\left(0\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-1}{1}\\ =-1\end{array}$

      また、

      $0<\left|x\right|<1$

      の場合、

      $\begin{array}{l}f\left(x\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^n-1}{x^n+1}\\ =-1\end{array}$

      また、

      $x=1$

      の場合、

      $\begin{array}{l}f\left(1\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-1}{1+1}\\ =0\end{array}$

      また、

      $\left|x\right|>1$

      の場合、

      $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^n-1}{x^n+1}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x^n}}{1+\frac{1}{x^n}}\\ =1\end{array}$

      よって極限は存在する。

      （証明終）

      $\begin{array}{l}f\left(1\right)=0\\ f\left(\frac{1}{2}\right)=-1\\ f\left(2\right)=1\end{array}$
   2. 
      
      $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=0$
   3. 
      
      $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$

      は存在しない。