数学 - Python - 解析学 - 積分法 - リーマン積分 - 積分可能関数の連続関数、積分可能な関数の合成関数の積分可能性、指数関数、三角関数(正弦)、対数関数、累乗

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.1(リーマン積分)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}{e}^x\\ \sin x\end{array}$

   は 閉区間

   $\left[a,b\right]$

   で積分可能である。

   よって、 定理8より、合成関数

   $f^2,f^3,\dots ,\exp \left(f\left(x\right)\right),\sin \left(f\left(x\right)\right)$

   なども閉区間

   $\left[a,b\right]$

   で積分可能である。

   また、

   $\begin{array}{l}\log x,x^{\alpha }\\ x>0\end{array}$

   は 積分可能なので、

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ a\le x\le b\end{array}$

   ならばその合成関数

   $\log f\left(x\right),{\left(f\left(x\right)\right)}^{\alpha }$

   も閉区間

   $\left[a,b\right]$

   で積分可能である。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, plot, sin, exp, log

print('2.')

x = symbols('x')
f = x ** 2 + x + 1
fs = [f, f.subs({x: f}), f.subs({x: f.subs({x: f})}),
      exp(f), sin(f), log(f), f ** 2]

p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⎛ 2             ⎞
⎝x  + x + 1, red⎠
⎛                     2           ⎞
⎜ 2       ⎛ 2        ⎞            ⎟
⎝x  + x + ⎝x  + x + 1⎠  + 2, green⎠
⎛                                                     2          ⎞
⎜                     2   ⎛                     2    ⎞           ⎟
⎜ 2       ⎛ 2        ⎞    ⎜ 2       ⎛ 2        ⎞     ⎟           ⎟
⎝x  + x + ⎝x  + x + 1⎠  + ⎝x  + x + ⎝x  + x + 1⎠  + 2⎠  + 3, blue⎠
⎛  2               ⎞
⎜ x  + x + 1       ⎟
⎝ℯ          , brown⎠
⎛   ⎛ 2        ⎞        ⎞
⎝sin⎝x  + x + 1⎠, orange⎠
⎛   ⎛ 2        ⎞        ⎞
⎝log⎝x  + x + 1⎠, purple⎠
⎛            2      ⎞
⎜⎛ 2        ⎞       ⎟
⎝⎝x  + x + 1⎠ , pink⎠
%