数学 - 解析学 - 積分法 - 積分の性質 - ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)、シュヴァルツの不等式(Schwarz inequality)、累乗、累乗根、絶対値

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   ${\int }_a^b{\left|f\right|}^p\ne 0,{\int }_a^b{\left|g\right|}^q\ne 0$

   のとき、

   $\begin{array}{l}\frac{{\left|f\right|}^p}{{\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\ge 0,\frac{{\left|g\right|}^q}{{\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\ge 0\\ {\int }_a^b\frac{{\left|f\right|}^p}{{\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\\ =\frac{1}{{\int }_a^b{\left|f\right|}^p}·{\int }_a^b{\left|f\right|}^p\\ =1\\ {\int }_a^b\frac{{\left|g\right|}^q}{{\int }_a^b{\left|g\right|}^q}=1\end{array}$

   よって、 問3の結果から

   $\begin{array}{l}{\int }_a^b{\left(\frac{{\left|f\right|}^p}{{\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\frac{{\left|g\right|}^a}{{\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}\le 1\\ {\int }_a^b\left|f\right|\left|g\right|\le {\left({\int }_a^b{\left|f\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\int }_a^b{\left|g\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \left|{\int }_a^{b}fg\right|\le {\int }_a^b\left|f\right|\left|g\right|\\ \left|{\int }_a^{b}fg\right|\le {\left({\int }_a^b{\left|f\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\int }_a^b{\left|g\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

   また、

   ${\int }_a^b{\left|f\right|}^p=0$

   の場合、

   $f=0$

   よって、 問題の不等式は成り立つ。

   ${\int }_a^b{\left|g\right|}^q=0$

   の場合も同様。

   （証明終）