数学 - 解析学 - 積分法 - 積分の性質 - 累乗、積、不等式

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $0\le fg\le \frac{f^p}{p}+\frac{g^q}{q}$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}{\int }_a^{b}fg\\ \le {\int }_a^b\left(\frac{f^p}{p}+\frac{g^q}{q}\right)\\ =\frac{1}{p}{\int }_a^b{f}^p+\frac{1}{q}{\int }_a^b{g}^q\\ =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ =1\end{array}$

   （証明終）