数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数の加減乗除 - 右微分可能性と右連続、左微分可能性と左連続

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、2.(連続関数の加減乗除)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   

   右 微分の場合、 ある c が存在して、

   $h>0,h\to 0$

   ならば、

   $\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\to c$

   となるので、

   $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\to hc=0$

   よって、 右連続である。

   左微分可能な場合も同様に、ある d が存在して、

   $\begin{array}{l}h<0,h\to 0\\ \Rightarrow \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\to d\\ f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\to dh=0\end{array}$

   よって、左連続である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit

print('2.')

x = symbols('x')
f = abs(x)


class MyTest(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test(self):
        l = Limit(f, x, 0, dir='+')
        r = Limit(f, x, 0, dir='-')
        for o in [l, r]:
            self.assertEqual(o.doit(), f.subs({x: 0}))


p = plot((f, (x, -5, 0)),
         (f, (x, 0, 5)),
         ylim=(-0, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
.
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Ran 1 test in 0.014s

OK
%