数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 階乗、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題30を求めてみる。

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} {|\frac{{(- 1)}^{n} + 1}{n!}|}^{\frac{1}{n}} \\ = 0 \end{array}$

よって、収束半径は

$\infty$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, factorial

print('30.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
n, m = symbols('n, m', integer=True, positive=True)


an = ((-1) ** n + 1) / factorial(n)
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

# for o in [s,  s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
for o in [s, f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11, 2)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -10, 10),
         ylim=(0, 20),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample30.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample30.py
30.
         _____________
        ╱ │    n    │ 
       ╱  │(-1)  + 1│ 
lim n ╱   ─────────── 
n─→∞╲╱         n!     

nan

(0, red)

⎛ 2       ⎞
⎝x , green⎠

⎛ 4           ⎞
⎜x     2      ⎟
⎜── + x , blue⎟
⎝12           ⎠

⎛  6    4            ⎞
⎜ x    x     2       ⎟
⎜─── + ── + x , brown⎟
⎝360   12            ⎠

⎛   8      6    4             ⎞
⎜  x      x    x     2        ⎟
⎜───── + ─── + ── + x , orange⎟
⎝20160   360   12             ⎠

%

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2019年10月17日木曜日

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