2019年10月10日木曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題23の解答を求めてみる。


  1. d dx P x Q x = P ' x Q x - P x Q ' x Q x 2

    仮定より、

    λ

    で関数は極値なので、その極値をとる x の値を aとすると、

    P a Q a = λ P ' a Q a - P a Q ' a Q a 2 = 0 P a = λ Q a P a - λ Q a = 0 P ' a Q a - P a Q ' a = 0

    また、

    d dx P x - λ Q x = P ' x - λ Q ' x

    となり、 x に a を代入すると、

    P ' a - λ Q ' a = P a Q ' a Q a - λ Q ' a = P a Q a - λ Q ' a = λ - λ Q ' a = 0

    ゆえに問題2により、関数

    P x - λ Q x = 0

    は重根を有する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot
import random
print('23.')

x = symbols('x')
a = 2
m = 3
n = 2
p = random.randrange(-5, 5) * (x - a) ** 2 * \
    sum([random.randrange(-5, 5) * x ** k for k in range(0, m - 1)])
q = sum([random.randrange(-5, 5) * x ** k for k in range(n)])
f = p / q
l = f.subs({x: a})
g = p - l * q
d = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [p, q, f, l, d, d.subs({x: a})]:
    pprint(o)
    print()
p = plot(p, q, f, l, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample23.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample23.py
23.
          2          
-2⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1)

-2⋅x - 5

          2           
-2⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1) 
──────────────────────
       -2⋅x - 5       

0

           2                                    2          
  4⋅(x - 2)    2⋅(2⋅x - 4)⋅(2⋅x + 1)   4⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1)
- ────────── - ───────────────────── - ────────────────────
   -2⋅x - 5           -2⋅x - 5                       2     
                                           (-2⋅x - 5)      

0

$ 

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