数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 導関数の求め方 - 方程式、重根、必要十分条件、導関数、零

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題22の解答を求めてみる。

22. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)={\left(x-a\right)}^{2}Q\left(x\right)+b_0+b_1\left(x-a\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=2\left(x-a\right)Q\left(x\right)+{\left(x-a\right)}^{2}Q\text{'}\left(x\right)+b_1\end{array}$

    a が重根ならば、 f は

    ${\left(x-a\right)}^2$

    で割り切れるから

    $b_0=b_1=0$

    よって、

    $\begin{array}{l}f\left(a\right)=0\\ f\text{'}\left(a\right)=0\end{array}$

    逆に

    $\begin{array}{l}f\left(a\right)=0\\ f\text{'}\left(a\right)=0\end{array}$

    ならば

    $b_0=b_1=0$

    なので、 f は

    ${\left(x-a\right)}^2$

    で割り切れる。

    よって重根である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, sqrt, Rational
import random
print('22.')

x = symbols('x')
a = random.randrange(-5, 5)
f = (x - a) ** 2 * sum([random.randrange(-5, 6) * x ** i for i in range(3)])
d = Derivative(f, x, 1).doit()

for o in [f, d]:
    pprint(f.subs({x: a}))

if a >= 0:
    a1 = -a - 1
    a2 = a + 1
else:
    a1 = a - 1
    a2 = -a + 1

p = plot(f, d,
         (x, a1, a2),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample22.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample22.py
22.
0
0
$