数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 写像の集合、準同形、像、内部自己同形群

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $f\left(a\right)={\sigma }_a$

    とおく。

    $\begin{array}{l}f\left(ab\right)\\ ={\sigma }_{ab}\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}{\sigma }_{ab}\left(x\right)\\ =abx{\left(ab\right)}^{-1}\\ =abx{b}^{-1}{a}^{-1}\\ =a\left({\sigma }_b\left(x\right)\right)a^{-1}\\ ={\sigma }_a\left({\sigma }_b\left(x\right)\right)\\ =\left({\sigma }_a\circ {\sigma }_b\right)\left(x\right)\\ {\sigma }_{ab}={\sigma }_a\circ {\sigma }_b\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}f\left(ab\right)\\ ={\sigma }_a\circ {\sigma }_b\\ =f\left(a\right)f\left(b\right)\end{array}$

    ゆえに f は G から Aut (G) への準同形である。

    （証明終）