数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 直線、商、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題23を求めてみる。

23. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|n\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =1\end{array}$

    よって、収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot

print('23.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = n
f = summation(an * x ** n, (n, 2, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(3, 13)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(2, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample23.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample23.py
23.
    n _____
lim ╲╱ │n│ 
n─→∞       

1

1

⎧ ∞   for x = 1
⎨              
⎩nan  otherwise

⎛   2     ⎞
⎝2⋅x , red⎠

⎛   3      2       ⎞
⎝3⋅x  + 2⋅x , green⎠

⎛   4      3      2      ⎞
⎝4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , blue⎠

⎛   5      4      3      2       ⎞
⎝5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , brown⎠

⎛   6      5      4      3      2        ⎞
⎝6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , orange⎠

⎛   7      6      5      4      3      2        ⎞
⎝7⋅x  + 6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , purple⎠

⎛   8      7      6      5      4      3      2      ⎞
⎝8⋅x  + 7⋅x  + 6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , pink⎠

⎛   9      8      7      6      5      4      3      2      ⎞
⎝9⋅x  + 8⋅x  + 7⋅x  + 6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , gray⎠

⎛    10      9      8      7      6      5      4      3      2         ⎞
⎝10⋅x   + 9⋅x  + 8⋅x  + 7⋅x  + 6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , skyblue⎠

⎛    11       10      9      8      7      6      5      4      3      2      
⎝11⋅x   + 10⋅x   + 9⋅x  + 8⋅x  + 7⋅x  + 6⋅x  + 5⋅x  + 4⋅x  + 3⋅x  + 2⋅x , yell

  ⎞
ow⎠

$