数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 導関数の求め方 - 累乗、曲線、接線、x軸、y軸、交点、比

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題21の解答を求めてみる。

21. 
    

    曲線上の一点 P を

    $\left(p,a{p}^{\frac{m}{n}}\right)$

    とおく。

    $\begin{array}{l}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}a{x}^{\frac{m}{n}}\\ =\frac{am}{n}{x}^{\frac{m}{n}-1}\end{array}$

    なので、曲線の点 P における接線の方程式は、

    $\begin{array}{l}y=\frac{am}{n}{p}^{\frac{m}{n}-1}\left(x-p\right)+a{p}^{\frac{m}{n}}\\ =\frac{am}{n}{p}^{\frac{m}{n}-1}x-\frac{am}{n}{p}^{\frac{m}{n}}+a{p}^{\frac{m}{n}}\\ =\frac{a{p}^{\frac{m}{n}-1}}{n}\left(mx-mp+np\right)\end{array}$

    この直線と x 軸で交わる点 Q は、

    $\left(\frac{mp-np}{m},0\right)$

    y 軸 と交わる点 R は

    $\left(0,\frac{a{p}^{\frac{m}{n}}}{n}\left(n-m\right)\right)$

    よって、 線分 QP の長さは

    $\begin{array}{l}\frac{}{QP}\\ =\sqrt{{\left(p-\frac{mp-np}{m}\right)}^2+{\left(a{p}^{\frac{m}{n}}\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(\frac{n}{m}p\right)}^2+{\left(a{p}^{\frac{m}{n}}\right)}^2}\end{array}$

    線分 P R の長さは

    $\begin{array}{l}\frac{}{PR}\\ =\sqrt{p^2+{\left(a{p}^{\frac{m}{n}}-\frac{a{p}^{\frac{m}{n}}}{n}\left(n-m\right)\right)}^2}\\ =\sqrt{p^2+{\left(\frac{m}{n}a{p}^{\frac{m}{n}}\right)}^2}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\frac{m}{n}\stackrel{-}{QP}\\ =\sqrt{p^2+{\left(\frac{m}{n}a{p}^{\frac{m}{n}}\right)}^2}\\ =\stackrel{-}{PR}\end{array}$

    ゆえに、比は、

    $\stackrel{-}{QP}:\stackrel{-}{PR}=n:m$

    である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, sqrt, Rational
from unittest import TestCase, main

print('21.')

x, y = symbols('x, y')
a = 1
m = 2
n = 4
p = 3
f = a * x ** Rational(m, n)
g = Derivative(f, x, 1).doit().subs({x: p}) * (x - p) + f.subs({x: p})

p = plot((f, (x, 0, 5)),
         (g, (x, -5, 5)),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample21.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample21.py
21.
$