2019年10月8日火曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題21の解答を求めてみる。


  1. 曲線上の一点 P を

    p , a p m n

    とおく。

    dy dx = d dx a x m n = a m n x m n - 1

    なので、曲線の点 P における接線の方程式は、

    y = a m n p m n - 1 x - p + a p m n = a m n p m n - 1 x - a m n p m n + a p m n = a p m n - 1 n m x - m p + n p

    この直線と x 軸で交わる点 Q は、

    m p - n p m , 0

    y 軸 と交わる点 R は

    0 , a p m n n n - m

    よって、 線分 QP の長さは

    Q P = p - m p - n p m 2 + a p m n 2 = n m p 2 + a p m n 2

    線分 P R の長さは

    P R = p 2 + a p m n - a p m n n n - m 2 = p 2 + m n a p m n 2

    よって、

    m n Q P - = p 2 + m n a p m n 2 = P R -

    ゆえに、比は、

    Q P - : P R - = n : m

    である。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, sqrt, Rational
from unittest import TestCase, main

print('21.')

x, y = symbols('x, y')
a = 1
m = 2
n = 4
p = 3
f = a * x ** Rational(m, n)
g = Derivative(f, x, 1).doit().subs({x: p}) * (x - p) + f.subs({x: p})

p = plot((f, (x, 0, 5)),
         (g, (x, -5, 5)),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample21.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample21.py
21.
$ 

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