2019年10月8日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題8の解答を求めてみる。


  1. a、 b 、 c を 群 G の任意の元とする。

    σ a σ b x = σ a b x b - 1 = a b x b - 1 a - 1 = a b x a b - 1

    よって、関数の合成について閉じている。

    σ a σ b σ c x = σ a σ b c x c - 1 = σ a b c x c - 1 b - 1 = a b c x c - 1 b - 1 a - 1 = a b c x a b c - 1 σ a σ b σ c x = σ a σ b c x c - 1 = σ a b c x c - 1 b - 1 = a b c x c - 1 b - 1 a - 1 = a b c x a b c - 1

    よって、

    σ a σ b σ c = σ a σ b σ c

    ゆえに結合律が成り立つ。

    σ a σ e x = σ a e x e - 1 = σ a x σ e σ a x = σ e a x a - 1 = e a x a - 1 e = a x a - 1 = σ a x

    よって、

    σ e

    は単位元。

    σ a σ 1 a x = σ a a - 1 x a = a a - 1 x a a - 1 = e x e = e x e - 1 = σ e x σ 1 a σ a x = a - 1 a x a - 1 a = e x e = e x e - 1 = σ e x

    よって 逆元が存在する。

    ゆえに、問題のすべての写像の集合は群をなす。

    (証明終)

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