数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 対数関数、2の累乗(べき乗)、商、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題21を求めてみる。

21. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{\log n}{2^n}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\log n\right)}^{\frac{1}{n}}}{2}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

    よって、収束半径は2。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, log

print('21.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = log(n) / 2 ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  # s.doit(), 1 / s.doit(),
          f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(2, 12)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample21.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample21.py
21.
       __________________
    n ╱  -re(n)          
lim ╲╱  2      ⋅│log(n)│ 
n─→∞                     

  ∞                
 ___               
 ╲                 
  ╲    -n  n       
  ╱   2  ⋅x ⋅log(n)
 ╱                 
 ‾‾‾               
n = 1              

(0, red)

⎛ 2              ⎞
⎜x ⋅log(2)       ⎟
⎜─────────, green⎟
⎝    4           ⎠

⎛ 3           2             ⎞
⎜x ⋅log(3)   x ⋅log(2)      ⎟
⎜───────── + ─────────, blue⎟
⎝    8           4          ⎠

⎛ 4           3           2              ⎞
⎜x ⋅log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅log(2)       ⎟
⎜───────── + ───────── + ─────────, brown⎟
⎝    16          8           4           ⎠

⎛ 5           4           3           2               ⎞
⎜x ⋅log(5)   x ⋅log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅log(2)        ⎟
⎜───────── + ───────── + ───────── + ─────────, orange⎟
⎝    32          16          8           4            ⎠

⎛ 6           5           4           3           2               ⎞
⎜x ⋅log(6)   x ⋅log(5)   x ⋅log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅log(2)        ⎟
⎜───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────, purple⎟
⎝    64          32          16          8           4            ⎠

⎛ 7           6           5           4           3           2             ⎞
⎜x ⋅log(7)   x ⋅log(6)   x ⋅log(5)   x ⋅log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅log(2)      ⎟
⎜───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────, pink⎟
⎝   128          64          32          16          8           4          ⎠

⎛ 8           7           6           5           4           3           2   
⎜x ⋅log(8)   x ⋅log(7)   x ⋅log(6)   x ⋅log(5)   x ⋅log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅lo
⎜───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────
⎝   256         128          64          32          16          8           4

          ⎞
g(2)      ⎟
────, gray⎟
          ⎠

⎛ 9           8           7           6           5           4           3   
⎜x ⋅log(9)   x ⋅log(8)   x ⋅log(7)   x ⋅log(6)   x ⋅log(5)   x ⋅log(4)   x ⋅lo
⎜───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────
⎝   512         256         128          64          32          16          8

        2                ⎞
g(3)   x ⋅log(2)         ⎟
──── + ─────────, skyblue⎟
           4             ⎠

⎛ 10            9           8           7           6           5           4 
⎜x  ⋅log(10)   x ⋅log(9)   x ⋅log(8)   x ⋅log(7)   x ⋅log(6)   x ⋅log(5)   x ⋅
⎜─────────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───
⎝    1024         512         256         128          64          32         

          3           2               ⎞
log(4)   x ⋅log(3)   x ⋅log(2)        ⎟
────── + ───────── + ─────────, yellow⎟
 16          8           4            ⎠

$