数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 複素数の幾何学的表現 - ド・モアブルの公式、倍角、三角関数(正弦と余弦)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.5(複素数の幾何学的表現)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n=\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)\\ {\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^n=\cos \left(n\theta \right)-i\sin \left(n\theta \right)\\ \cos \left(n\theta \right)=\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n+{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^n}{2}\\ \sin \left(n\theta \right)=\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n-{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^n}{2i}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\cos \left(4\theta \right)\\ =\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^4+{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^4}{2}\\ ={\cos }^4\theta -6{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta +{\sin }^4\theta \\ \sin \left(4\theta \right)\\ =\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^4-{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^4}{2i}\\ =4{\cos }^3\theta \sin \theta -4\cos \theta {\sin }^3\theta \\ \cos \left(5\theta \right)\\ =\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^5+{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^5}{2}\\ ={\cos }^5\theta -10{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta +5\cos \theta {\sin }^4\theta \\ \sin \left(5\theta \right)\\ =\frac{{\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^5-{\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}^5}{2i}\\ =5{\cos }^4\theta \sin \theta -10{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta +{\sin }^5\theta \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, sin, cos, pi

print('4.')


class MyTest(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test(self):
        theta = symbols('θ')
        spam = [f(o) for o in [4 * theta, 5 * theta] for f in [cos, sin]]
        egg = [cos(theta) ** 4 - 6 * cos(theta) ** 2 *
               sin(theta) ** 2 + sin(theta) ** 4,
               4 * cos(theta) ** 3 * sin(theta) -
               4 * cos(theta) * sin(theta) ** 3,
               cos(theta) ** 5 - 10 * cos(theta) ** 3 * sin(theta) ** 2 +
               5 * cos(theta) * sin(theta) ** 4,
               5 * cos(theta) ** 4 * sin(theta) -
               10 * cos(theta) ** 2 * sin(theta) ** 3 +
               sin(theta) ** 5]
        for s, t in zip(spam, egg):
            for theta0 in range(10):
                d = {theta: theta0}
                self.assertEqual(float(s.subs(d)), float(t.subs(d)))


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
.
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OK
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