数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 三角関数(正弦)、2の累乗(べき乗)、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題20を求めてみる。

20. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{\sin \frac{n\pi }{2}}{2^n}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

    よって、収束半径は2。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, sin, pi

print('20.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = sin(n * pi / 2) / 2 ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  # s.doit(), 1 / s.doit(),
          f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample20.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample20.py
20.
        ____________________
       ╱  -re(n) │   ⎛π⋅n⎞│ 
lim n ╱  2      ⋅│sin⎜───⎟│ 
n─→∞╲╱           │   ⎝ 2 ⎠│ 

  ∞                  
 ____                
 ╲                   
  ╲    -n  n    ⎛π⋅n⎞
   ╲  2  ⋅x ⋅sin⎜───⎟
   ╱            ⎝ 2 ⎠
  ╱                  
 ╱                   
 ‾‾‾‾                
n = 1                

(0, red)

⎛x       ⎞
⎜─, green⎟
⎝2       ⎠

⎛x      ⎞
⎜─, blue⎟
⎝2      ⎠

⎛   3           ⎞
⎜  x    x       ⎟
⎜- ── + ─, brown⎟
⎝  8    2       ⎠

⎛   3            ⎞
⎜  x    x        ⎟
⎜- ── + ─, orange⎟
⎝  8    2        ⎠

⎛ 5    3            ⎞
⎜x    x    x        ⎟
⎜── - ── + ─, purple⎟
⎝32   8    2        ⎠

⎛ 5    3          ⎞
⎜x    x    x      ⎟
⎜── - ── + ─, pink⎟
⎝32   8    2      ⎠

⎛    7    5    3          ⎞
⎜   x    x    x    x      ⎟
⎜- ─── + ── - ── + ─, gray⎟
⎝  128   32   8    2      ⎠

⎛    7    5    3             ⎞
⎜   x    x    x    x         ⎟
⎜- ─── + ── - ── + ─, skyblue⎟
⎝  128   32   8    2         ⎠

⎛  9     7    5    3            ⎞
⎜ x     x    x    x    x        ⎟
⎜─── - ─── + ── - ── + ─, yellow⎟
⎝512   128   32   8    2        ⎠

$