数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 三角関数(余弦)、3の累乗(べき乗)、商、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題22を求めてみる。

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} {|\frac{1 + \cos (2 π n)}{3^{n}}|}^{\frac{1}{n}} \\ = \frac{1}{3} \end{array}$
よって、収束半径は3。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, cos, pi

print('22.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = (1 + cos(2 * pi * n)) / 3 ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  # s.doit(), 1 / s.doit(),
          f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample22.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample22.py
22.
       __________________________
    n ╱  -re(n)                  
lim ╲╱  3      ⋅│cos(2⋅π⋅n) + 1│ 
n─→∞                             

  ∞                          
 ___                         
 ╲                           
  ╲    -n  n                 
  ╱   3  ⋅x ⋅(cos(2⋅π⋅n) + 1)
 ╱                           
 ‾‾‾                         
n = 1                        

(0, red)

⎛2⋅x       ⎞
⎜───, green⎟
⎝ 3        ⎠

⎛   2            ⎞
⎜2⋅x    2⋅x      ⎟
⎜──── + ───, blue⎟
⎝ 9      3       ⎠

⎛   3      2             ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x       ⎟
⎜──── + ──── + ───, brown⎟
⎝ 27     9      3        ⎠

⎛   4      3      2              ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x        ⎟
⎜──── + ──── + ──── + ───, orange⎟
⎝ 81     27     9      3         ⎠

⎛   5      4      3      2              ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x        ⎟
⎜──── + ──── + ──── + ──── + ───, purple⎟
⎝243     81     27     9      3         ⎠

⎛   6      5      4      3      2            ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x      ⎟
⎜──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ───, pink⎟
⎝729    243     81     27     9      3       ⎠

⎛   7      6      5      4      3      2            ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x      ⎟
⎜──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ───, gray⎟
⎝2187   729    243     81     27     9      3       ⎠

⎛   8      7      6      5      4      3      2               ⎞
⎜2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x         ⎟
⎜──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ───, skyblue⎟
⎝6561   2187   729    243     81     27     9      3          ⎠

⎛    9      8      7      6      5      4      3      2              ⎞
⎜ 2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x    2⋅x        ⎟
⎜───── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ──── + ───, yellow⎟
⎝19683   6561   2187   729    243     81     27     9      3         ⎠

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2019年10月9日水曜日

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