数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 累乗根の逆数、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題12を求めてみる。

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} {|\frac{1}{\sqrt{n}}|}^{\frac{1}{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2 n}}} \\ = 1 \end{array}$
よって、収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, sqrt

print('12.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 1 / sqrt(n)
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
12.
        ______
       ╱ │1 │ 
lim n ╱  │──│ 
n─→∞╲╱   │√n│ 

1

1

  ∞     
 ____   
 ╲      
  ╲    n
   ╲  x 
   ╱  ──
  ╱   √n
 ╱      
 ‾‾‾‾   
n = 1   

(0, red)

(x, green)

⎛    2          ⎞
⎜√2⋅x           ⎟
⎜───── + x, blue⎟
⎝  2            ⎠

⎛    3       2           ⎞
⎜√3⋅x    √2⋅x            ⎟
⎜───── + ───── + x, brown⎟
⎝  3       2             ⎠

⎛ 4       3       2            ⎞
⎜x    √3⋅x    √2⋅x             ⎟
⎜── + ───── + ───── + x, orange⎟
⎝2      3       2              ⎠

⎛    5    4       3       2            ⎞
⎜√5⋅x    x    √3⋅x    √2⋅x             ⎟
⎜───── + ── + ───── + ───── + x, purple⎟
⎝  5     2      3       2              ⎠

⎛    6       5    4       3       2          ⎞
⎜√6⋅x    √5⋅x    x    √3⋅x    √2⋅x           ⎟
⎜───── + ───── + ── + ───── + ───── + x, pink⎟
⎝  6       5     2      3       2            ⎠

⎛    7       6       5    4       3       2          ⎞
⎜√7⋅x    √6⋅x    √5⋅x    x    √3⋅x    √2⋅x           ⎟
⎜───── + ───── + ───── + ── + ───── + ───── + x, gray⎟
⎝  7       6       5     2      3       2            ⎠

⎛    8       7       6       5    4       3       2             ⎞
⎜√2⋅x    √7⋅x    √6⋅x    √5⋅x    x    √3⋅x    √2⋅x              ⎟
⎜───── + ───── + ───── + ───── + ── + ───── + ───── + x, skyblue⎟
⎝  4       7       6       5     2      3       2               ⎠

⎛ 9       8       7       6       5    4       3       2            ⎞
⎜x    √2⋅x    √7⋅x    √6⋅x    √5⋅x    x    √3⋅x    √2⋅x             ⎟
⎜── + ───── + ───── + ───── + ───── + ── + ───── + ───── + x, yellow⎟
⎝3      4       7       6       5     2      3       2              ⎠

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2019年10月1日火曜日

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