2019年10月23日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、7(べき級数の微分と積分)の練習問題5を求めてみる。


  1. J x = n = 0 - 1 n n ! 2 x 2 2 n = n = 0 - 1 n n ! 2 2 2 n x 2 n d dx J x = n = 1 - 1 n n ! 2 2 2 n · 2 n x 2 n - 1 = n = 1 - 1 n n n ! 2 2 2 n - 1 x 2 n - 1 = n = 0 - 1 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 x 2 n + 1 d 2 d x 2 J x = n = 0 - 1 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n

    よって、

    x 2 J ' ' x + x J ' x + x 2 J x = n = 0 - 1 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n + 2 + n = 0 - 1 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 x 2 n + 2 + n = 0 - 1 n n ! 2 2 2 n x 2 n + 2 = n = 0 - - 1 n n + 1 2 n + 1 - - 1 n n + 1 + - 1 n n + 1 2 2 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 x 2 n + 2 = n = 0 - 1 n - 2 n 2 - 3 n - 1 - n - 1 + 2 n 2 + 4 n + 2 n + 1 ! 2 2 2 n + 1 x 2 n + 2 = 0

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, Derivative, factorial

print('5.')

x, n = symbols('x, n')
t = (-1) ** n / factorial(n) ** 2 * (x / 2) ** (2 * n)
f = summation(t, (n, 0, oo))
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
f2 = Derivative(f, x, 2).doit()
for o in [f, f1, f2, (x ** 2 * f2 + x * f1 + x ** 2 * f).simplify()]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([t.subs({n: k}) for k in range(m + 1)])


fs = [1 / (1 + x ** 2)] + [g(m) for m in range(9)]
p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
besselj(0, x)

-besselj(1, x)

-besselj(0, x) + besselj(2, x)
──────────────────────────────
              2               

0

⎛  1        ⎞
⎜──────, red⎟
⎜ 2         ⎟
⎝x  + 1     ⎠

(1, green)

⎛     2      ⎞
⎜    x       ⎟
⎜1 - ──, blue⎟
⎝    4       ⎠

⎛ 4    2           ⎞
⎜x    x            ⎟
⎜── - ── + 1, brown⎟
⎝64   4            ⎠

⎛    6     4    2            ⎞
⎜   x     x    x             ⎟
⎜- ──── + ── - ── + 1, orange⎟
⎝  2304   64   4             ⎠

⎛   8       6     4    2            ⎞
⎜  x       x     x    x             ⎟
⎜────── - ──── + ── - ── + 1, purple⎟
⎝147456   2304   64   4             ⎠

⎛     10         8       6     4    2          ⎞
⎜    x          x       x     x    x           ⎟
⎜- ──────── + ────── - ──── + ── - ── + 1, pink⎟
⎝  14745600   147456   2304   64   4           ⎠

⎛    12          10         8       6     4    2          ⎞
⎜   x           x          x       x     x    x           ⎟
⎜────────── - ──────── + ────── - ──── + ── - ── + 1, gray⎟
⎝2123366400   14745600   147456   2304   64   4           ⎠

⎛       14            12          10         8       6     4    2             
⎜      x             x           x          x       x     x    x              
⎜- ──────────── + ────────── - ──────── + ────── - ──── + ── - ── + 1, skyblue
⎝  416179814400   2123366400   14745600   147456   2304   64   4              

⎞
⎟
⎟
⎠

⎛       16              14            12          10         8       6     4  
⎜      x               x             x           x          x       x     x   
⎜─────────────── - ──────────── + ────────── - ──────── + ────── - ──── + ── -
⎝106542032486400   416179814400   2123366400   14745600   147456   2304   64  

  2            ⎞
 x             ⎟
 ── + 1, yellow⎟
 4             ⎠

%

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