2019年10月21日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題3の解答を求めてみる。


  1. 問題の仮定と テイラーの定理より、 ある

    - 1 < c < 0

    が存在して、

    f - 1 = f 0 + f ' 0 - 1 + f ' ' 0 2 ! - 1 2 + f ' ' ' c 3 ! - 1 3 = f 0 + f ' ' 0 2 - f ' ' ' c 6

    成り立つ。

    同様に、 ある

    0 < d < 1

    が存在して、

    f 1 = f 0 + f ' 0 + f ' ' 0 2 ! + f ' ' ' d 3 ! = f 0 + f ' ' 0 2 + f ' ' ' d 6

    が成り立つ。

    よって、

    f 1 - f 0 = 1 6 f ' ' ' d + f ' ' ' c 1 - - 1 = 1 6 f ' ' ' d + f ' ' ' c f ' ' ' c + f ' ' ' d = 12

    が成り立つ。

    ゆえに、

    f ' ' ' c 6 f ' ' ' d 6

    なので、 開区間

    - 1 , 1

    f ' ' ' x 6

    となる x が存在する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, plot

print('3.')

x = symbols('x', real=True)
f = -x ** 4 + x ** 3 + x ** 2
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
f3 = Derivative(f, x, 3).doit()

for o in [f.subs({x: -1}) == -1, f.subs({x: 1}) == 1, f1.subs({x: 0}) == 0]:
    print(o)

pprint(solve(f3 - 6, x))

p = plot(f, f3, 6,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-7, 7),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py
3.
True
True
True
[0]
%

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