数学 - Python - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - テイラーの定理 - 区間、微分

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   問題の仮定と テイラーの定理より、 ある

   $-1<c<0$

   が存在して、

   $\begin{array}{l}f\left(-1\right)\\ =f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)\left(-1\right)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{\left(-1\right)}^2+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)}{3!}{\left(-1\right)}^3\\ =f\left(0\right)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2}-\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)}{6}\end{array}$

   成り立つ。

   同様に、 ある

   $0<d<1$

   が存在して、

   $\begin{array}{l}f\left(1\right)\\ =f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)}{3!}\\ =f\left(0\right)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2}+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)}{6}\end{array}$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}f\left(1\right)-f\left(0\right)=\frac{1}{6}\left(f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)+f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)\right)\\ 1-\left(-1\right)=\frac{1}{6}\left(f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)+f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)\right)\\ f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)+f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)=12\end{array}$

   が成り立つ。

   ゆえに、

   $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)\ge 6\vee f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)\ge 6$

   なので、 開区間

   $\left(-1,1\right)$

   に

   $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 6$

   となる x が存在する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, plot

print('3.')

x = symbols('x', real=True)
f = -x ** 4 + x ** 3 + x ** 2
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
f3 = Derivative(f, x, 3).doit()

for o in [f.subs({x: -1}) == -1, f.subs({x: 1}) == 1, f1.subs({x: 0}) == 0]:
    print(o)

pprint(solve(f3 - 6, x))

p = plot(f, f3, 6,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-7, 7),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py
3.
True
True
True
[0]
%