数学 - Python - 代数学 - 実数 - 平方根、無理数、証明、背理法、有理数

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(実数)、練習問題12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ =\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\end{array}$

    これが有理数であると仮定すると、この2乗も有理数である。

    ところが

    $\begin{array}{l}{\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)}^2\\ =\frac{5-2\sqrt{6}}{6}\end{array}$

    は問題の仮定から無理数である。

    よって矛盾。

    ゆえに、

    $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$

    は無理数である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, sqrt
from unittest import TestCase, main

print('12.')


class MyTest(TestCase):

    def test(self):
        self.assertFalse((1 / sqrt(2) - 1 / sqrt(3)).is_rational)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample12.py -v
12.
test (__main__.MyTest) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.005s

OK
%