2019年10月28日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.2(極限の計算)、問題1の解答を求めてみる。



    1. lim x + x e 1 x - 1 = lim y + 0 e y - 1 y d dy e y - 1 = e y dy dy = 1 lim y + 0 e y 1 = 1 lim y + 0 e y - 1 = 0 lim y + 0 y = 0

      よって、 ロピタルの定理より

      lim x + x e 1 x - 1 = 1

    2. log x 1 x = 1 x log x lim x + 1 x log x = lim y + 0 log y - 1 1 y = - lim y + 0 log y 1 y lim y + 0 1 y = d dy log y = 1 y d dy 1 y = - 1 y 2 lim y + 0 1 y - 1 y 2 = 0

      よってロピタルの定理より、

      lim x + log x 1 x = 0

      ゆえに、

      lim x + x 1 x = 1

    3. lim x 0 a x - b x = 0 lim x 0 x = 0 d dx a x - b x = a x log a - b x log b d dx x = 1 lim x 0 a x log a - b x log b 1 = log a - log b = log a b lim x 0 a x - b x x = log a b

    4. lim x 0 x - arcsin x = 0 lim x 0 x 3 = 0 d dx x - arcsin x = 1 - 1 1 - x 2 d dx x 3 = 3 x 2 lim x 0 1 - 1 1 - x 2 = 0 lim x 0 3 x 2 = 0 d dx 1 - 1 1 - x 2 = - x 1 - x 2 1 - x 2 d dx 3 x 2 = 6 x lim x 0 - x 1 - x 2 1 - x 2 = 0 lim x 0 6 x = 0 lim x 0 - x 1 - x 2 1 - x 2 · 1 6 x = - 1 6 lim x 0 x - arcsin x x 3 = - 1 6

    5. tan x - 1 cos x = sin x - 1 cos x lim x π 2 sin x - 1 = 0 lim x π 2 cos x = 0 d dx sin x - 1 = cos x d dx cos x = - sin x lim x π 2 cos x - sin x = lim x π 2 - 1 tan x = 0 lim x π 2 tan x - 1 cos x = 0

    6. lim x π 2 x sin x - π 2 = 0 lim x π 2 cos x = 0 d dx x sin x - π 2 = sin x - x cos x d dx cos x = - sin x lim x π 2 sin x - x cos x - sin x = - 1 lim x π 2 x sin x - π 2 cos x = - 1

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