数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と素因子分解 - 最大公約因子 - 整除

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の12章(多項式と素因子分解)、2(最大公約因子)、練習問題1の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} t^{n} - 1 \\ = (t - 1) (t^{n - 1} + t^{n - 2} + \dots + 1) \end{array}$
よって整除される。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, plot
import random

print('1.')

t = symbols('t')
n, k = symbols('n, k', real=True, positive=True)
f = t ** n - 1

for n0 in range(10):
    fn = f.subs({n: n0})
    gn = (t - 1) * sum([t ** (n0 - i) for i in range(1, n0 + 1)])
    for o in [fn, gn, fn == gn.expand()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(*[f.subs({n: n0}) for n0 in range(10)],
         xlim=(-5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
0

0

True

t - 1

t - 1

True

 2    
t  - 1

(t - 1)⋅(t + 1)

True

 3    
t  - 1

        ⎛ 2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t + 1⎠

True

 4    
t  - 1

        ⎛ 3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t + 1⎠

True

 5    
t  - 1

        ⎛ 4    3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t  + t + 1⎠

True

 6    
t  - 1

        ⎛ 5    4    3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t  + t  + t + 1⎠

True

 7    
t  - 1

        ⎛ 6    5    4    3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t  + t  + t  + t + 1⎠

True

 8    
t  - 1

        ⎛ 7    6    5    4    3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t  + t  + t  + t  + t + 1⎠

True

 9    
t  - 1

        ⎛ 8    7    6    5    4    3    2        ⎞
(t - 1)⋅⎝t  + t  + t  + t  + t  + t  + t  + t + 1⎠

True


C:\Users\...>

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2019年9月1日日曜日

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