数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 三角関数(正弦と余弦)、累乗(べき乗)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題3を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\left|\frac{\sin \pi n+\cos 2\pi n}{n^{\frac{3}{2}}}\right|\\ =\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\\ \frac{3}{2}>1\end{array}$

   よって、 問題の無限級数は絶対収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, sin, cos, pi
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('3.')

n = symbols('n')
f = abs((sin(pi * n) + cos(2 * pi * n)) / n ** Rational(3, 2))
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I  # , I.doit()
          ]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, 1 / n ** Rational(3, 2),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ |(sin πn + cos 2πn) / n^(3/2)|',
            '|(sin πn + cos 2πn) / n^(3/2)|',
            '1 / n^(3/2)'])
plt.savefig('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
  ∞                          
 ____                        
 ╲                           
  ╲   │sin(π⋅n) + cos(2⋅π⋅n)│
   ╲  │─────────────────────│
   ╱  │          3/2        │
  ╱   │         n           │
 ╱                           
 ‾‾‾‾                        
n = 1                        

∞                           
⌠                           
⎮ │sin(π⋅n) + cos(2⋅π⋅n)│   
⎮ │─────────────────────│ dn
⎮ │          3/2        │   
⎮ │         n           │   
⌡                           
1                           


c:\Users\...>

積分の計算がなかなか終わらなかったからコメントアウト。